Lista de exercícios 03: Distribuição Normal Multivariada

Data de entrega: 24 de novembro de 2025

  1. Suponha que \(\mathbf{x} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\), onde

\[ \boldsymbol{\mu} = \left[ \begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right], \boldsymbol{\Sigma} = \left[ \begin{array}{rrr} 6 & 1 & -2\\ 1 & 13 & 4 \\ -2 & 4 & 4 \end{array} \right] \]

  1. Encontre a distribuição de \(z = 2x_1 - x_2 + 3x_3\)
  2. Encontre a distribuição conjunta de \(z_1 = x_1 + x_2 + x_3\) e \(z_2 = x_1 - x_2 + 2x_3\)
  3. Encontre a distribuição marginal de \(x_2\)
  4. Encontre a distribuição de \([x_1 \hspace{0.2cm} x_3]^t\)
  5. Encontre a distribuição conjunta de \(x_1\), \(x_3\) e \(3(x_1 + x_2)\)
  1. Considere uma população normal bivariada com \(\mu_1 = 0\), \(\mu_2 = 2\), \(\sigma_{11} = 2\), \(\sigma_{22} = 1\) e \(\rho_{12} = 0,5\).
  1. Escreva a função densidade normal bivariada correspondente.
  2. Escreva a distância generalizada quadrática de Mahalanobis \((\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^t \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})\) em função de \(x_1\) e \(x_2\).
  1. Suponha que \(\mathbf{x} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\), onde

\[ \boldsymbol{\mu} = \left[ \begin{array}{r} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right], \boldsymbol{\Sigma} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right] \]

  1. Encontre a distribuição de \(z = 3x_1 - 2x_2 + x_3\)
  2. Encontre a distribuição de \(w = 2x_1\)
  3. Encontre a distribuição conjunta de \(\mathbf{y} = \left[ \begin{array}{r} z \\ w \end{array} \right]\)
  1. Suponha que \(\mathbf{x} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\), com

\[ \boldsymbol{\mu} = \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right], \boldsymbol{\Sigma} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right] \]

Verifique se as seguintes variáveis são independentes. JUSTIFIQUE!

  1. \(X_1\) e \(X_2\)
  2. \(X_2\) e \(X_3\)
  3. \((X_1, X_2)\) e \(X_3\)
  4. \(\displaystyle \frac{X_1 + X_2}{2}\) e \(X_3\)
  5. \(X_2\) e \(\displaystyle X_2 - \frac{5}{2} X_1 - X_3\)
  1. Seja \(\mathbf{x} \sim N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\), com

\[ \boldsymbol{\mu} = \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right], \boldsymbol{\Sigma} = \left[ \begin{array}{rrr} 25 & -2 & 4 \\ -2 & 4 &1 \\ 4& 1 &9 \end{array} \right] \]

Determine a distribuição condicional de \(X_1\) dado \(\mathbf{x_2} = [4 \hspace{0.2cm} 4]^t\).

  1. Seja o vetor \(\mathbf{x}\) com distribuição normal \(N_3(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})\), sendo

\[ \boldsymbol{\mu} = \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right], \boldsymbol{\Sigma} = \left[ \begin{array}{rrr} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \right] \]

Determine as distribuições marginal de \(X_1\) e condicional de \(X_1\) dado \(\mathbf{x_2} = [X_2 \hspace{0.2cm} X_3]^t\). O que podemos dizer a respeito dessas distribuições? Explique a razão desse fato.